Eulerio tapatybė

Matematinis Eulerio tapatybės įrodymas naudojant Teiloro eilutes

Daugelį lygčių galima užrašyti kaip kartu sudėtų narių eilę. Tai vadinama Teiloro eilute

Eksponentinę funkciją e x {\displaystyle e^{x}} galima užrašyti kaip Teiloro eilutę

e x = 1 + x + x 2 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}}

Taip pat sinusą galima užrašyti taip

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \virš 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}

ir kosinusas kaip

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \per 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}

Čia matome, kad susiformavo modelis. e x {\displaystyle e^{x}} atrodo kaip sinuso ir kosinuso Teiloro eilučių suma, tik visi ženklai pakeisti į teigiamus. Iš tikrųjų įrodinėjama tapatybė yra e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

Taigi kairėje pusėje yra e i x {\displaystyle e^{ix}} , kurios Teiloro eilutė yra 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\\cdots }

Čia matome dėsningumą, kad kas antras narys yra i kartų sinuso narys, o kiti nariai yra kosinuso nariai.

Dešinėje pusėje yra cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} , kurios Teiloro eilutė yra kosinuso Teiloro eilutė ir i kartų padidinta sinuso Teiloro eilutė, kurią galima parodyti taip:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

jei juos sudėsime, gausime

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\\cdots }

Todėl:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Dabar, jei x pakeisime π {\displaystyle \pi } turime..

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Tada žinome, kad

• cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

ir

• sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Todėl:

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1+1=0}

QED