Eulerio tapatybė (e^{iπ}+1=0): apibrėžimas, reikšmė ir istorija

Ši lygtis yra Eulerio tapatybė, kartais vadinama Eulerio lygtimi:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \aprox 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Eulerio skaičius

e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\aprox 2,71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , įsivaizduojamasis vienetas

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Eulerio tapatybė pavadinta šveicarų matematiko Leonardo Eulerio vardu. Nėra aišku, ar jis pats ją sugalvojo.

"Physics World" apklausoje dalyvavę respondentai tapatybę pavadino "giliausiu kada nors parašytu matematiniu teiginiu", "nuostabia ir didinga", "kupina kosminio grožio" ir "pribloškiančia".

Apibrėžimas ir paprastas paaiškinimas

Eulerio tapatybė teigia, kad

e^{iπ} + 1 = 0

Tai reiškia, kad kompleksiškas eksponentas e pakeltas į iπ lygus −1, o pridedant 1 gaunama nulis. Ši trumpa lygtis sujungia kelis matematikos fundamentus: skaičius e, π, i, bei elementarius skaičius 0 ir 1.

Įrodymas (paprastas žingsnis po žingsnio)

Įrodymas remiasi Eulerio formule:

e^{ix} = cos x + i sin x

Jeigu vietoje x įrašome π, gauname

e^{iπ} = cos π + i sin π

Žinome, kad cos π = −1 ir sin π = 0, tad

e^{iπ} = −1

Iš čia seka Eulerio tapatybė:

e^{iπ} + 1 = 0

Alternatyvūs įrodymai (santrauka)

Taylor'o eilutės: išplėtus e^{ix}, cos x ir sin x į galios eiles ir sudėjus atitinkamas narius gaunasi Eulerio formulė, o iš jos — tapatybė x = π atveju.
Sprendžiant diferencialines lygtis: funkcija e^{ix} ir sin/cos gali būti apibrėžiamos kaip sprendiniai tam tikroms pradinėms sąlygoms tenkinančioms dif. lygčioms, iš čia taip pat gaunama ryšys.
de Moivre'o formulė: (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ) ir jo pratęsimai lemia Eulerio formulę.

Reikšmė ir grožis

Eulerio tapatybė dažnai vadinama gražiausia matematine lygtimi, nes viename trumpame sakinyje ji sujungia:

du fundamentalius skaičius (e ir π),
įsivaizduojamą vienetą i,
bazinį aritmetinį elementą (1),
ir neutrinį elementą nuliui (0).

Tai simbolizuoja gilų ryšį tarp analizės, trigonometrijos ir kompleksinės algebros.

Istorija

Leonardas Euleris (1707–1783) plačiai pritaikė ir išplėtojo idėjas, kurios leido užrašyti e^{ix} = cos x + i sin x. Tam tikrais elementais ši idėja turi ankstesnių šaknų (pvz., de Moivre'o formulėje), tačiau Euleris ją sistemingai įtvirtino matematinėje literatūroje ir panaudojo daugelyje savo darbų, ypač XVIII a. viduryje. Dėl to tapatybė dažnai priskiriama jam, nors atskiros sudedamosios dalys susiformavo anksčiau arba savaime aiškėja iš skirtingų teorinių požiūrių.

Panaudojimas

Eulerio formulė ir iš jos kylanti tapatybė yra kertiniai įrankiai daugelyje sričių:

Kompleksinė analizė — naudojama funkcijų vaizdavimui poliarinėmis koordinates, integracijoms ir kt.
Signalo apdorojimas ir Fourier analizė — sinusoidas užrašomas kaip kompleksinis eksponentas, tai palengvina transformacijas ir filtravimą.
Elektrotechnika — fazorių (phasor) reiškiniai, grandinių analizė.
Kvantinė mechanika — bangų funkcijų ir fazių sąvokos.
Diferencialinių lygtčių sprendimas — kompleksiniai eksponentai dažnai yra sprendinių forma.

Platesnis kontekstas ir pastebėjimai

Eulerio tapatybė yra specialus Eulerio formulės atvejis (x = π). Plačiau, kompleksinis skaičius gali būti užrašytas poliarine forma:

re^{iθ} = r(cos θ + i sin θ)

Tai supaprastina daugybą veiksmų su kompleksiniais skaičiais, įskaitant daugybą, dalybą ir pakėlimą laipsniu.

Taip pat svarbu paminėti, kad logaritmai kompleksiniuose skaičiuose yra daugiareikšmiai: iš e^{iπ} = −1 galime rašyti ln(−1) = i(2k+1)π, kur k yra sveikasis skaičius — tai atspindi eksponentinės funkcijos periodiškumą kompleksiame lape.

Apibendrinimas

Eulerio tapatybė e^{iπ} + 1 = 0 yra trumpas, bet galingas matematinis teiginys, rodantis sąsają tarp fundamentalių skaičių ir funkcijų. Ji turi tiek teorinę vertę (graži ir vienijanti formulė), tiek praktinių pritaikymų įvairiose mokslo ir inžinerijos srityse.

Matematinis Eulerio tapatybės įrodymas naudojant Teiloro eilutes

Daugelį lygčių galima užrašyti kaip kartu sudėtų narių eilę. Tai vadinama Teiloro eilute

Eksponentinę funkciją e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ galima užrašyti kaip Teiloro eilutę

e x = 1 + x + x 2 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Taip pat sinusą galima užrašyti taip

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \virš 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

ir kosinusas kaip

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \per 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Čia matome, kad susiformavo modelis. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ atrodo kaip sinuso ir kosinuso Teiloro eilučių suma, tik visi ženklai pakeisti į teigiamus. Iš tikrųjų įrodinėjama tapatybė yra e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ } .

Taigi kairėje pusėje yra e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ , kurios Teiloro eilutė yra 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Čia matome dėsningumą, kad kas antras narys yra i kartų sinuso narys, o kiti nariai yra kosinuso nariai.

Dešinėje pusėje yra cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , kurios Teiloro eilutė yra kosinuso Teiloro eilutė ir i kartų padidinta sinuso Teiloro eilutė, kurią galima parodyti taip:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

jei juos sudėsime, gausime

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Todėl:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Dabar, jei x pakeisime π {\displaystyle \pi } $\pi$ turime..

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Tada žinome, kad

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Todėl:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra Eulerio tapatybė?

A: Eulerio tapatybė, kartais vadinama Eulerio lygtimi, yra lygtis, kurioje matematinės konstantos pi, Eulerio skaičius ir įsivaizduojamasis vienetas kartu su trimis pagrindiniais matematiniais veiksmais (sudėtimi, daugyba ir išskaičiavimu). Lygtis yra e^(i*pi) + 1 = 0.

K: Kas buvo Leonardas Euleris?

A: Leonardas Euleris buvo šveicarų matematikas, kurio vardu pavadinta tapatybė. Neaišku, ar jis pats ją sugalvojo.

K: Kokios reakcijos į Eulerio tapatybę?

A: "Physics World" apklausos respondentai tapatybę pavadino "giliausiu kada nors parašytu matematiniu teiginiu", "nepaprasta ir didinga", "kupina kosminio grožio" ir "pribloškiančia".

Klausimas: Kokios konstantos yra šioje lygtyje?

A: Šioje lygtyje yra šios konstantos: pi (apytiksliai 3,14159), Eulerio skaičius (apytiksliai 2,71828) ir įsivaizduojamasis vienetas (lygus -1).

K: Kokios operacijos yra šioje lygtyje?

A: Šioje lygtyje atliekamos šios operacijos: sudėtis, daugyba ir eksponentiškumas.

K: Kaip galima matematiškai išreikšti pi?

A: Pi galima matematiškai išreikšti taip: π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \aprox 3,14159}.

K: Kaip matematiškai išreikšti Eulerio skaičių? A:Eulerio skaičių matematiškai galima išreikšti taip: e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\aprox 2,71828}.