Teiloro (Taylorio) eilutė: apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai

Senovės graikų filosofas Zenonas iš Elei pirmasis sugalvojo šią seriją. Paradoksas, pavadintas "Zenono parodoksalu", rezultatas. Jis manė, kad neįmanoma sudėti begalinį skaičių reikšmių ir kaip rezultatą gauti vieną baigtinę reikšmę.

Kitas graikų filosofas Aristotelis pateikė atsakymą į filosofinį klausimą. Tačiau Archimedas pasiūlė matematinį atsakymą, naudodamasis išsekimo metodu. Jis sugebėjo įrodyti, kad, ką nors padalijus į begalinį skaičių mažų dalių, jas visas sudėjus į vieną visumą, jos vis tiek susidarys. Po kelių šimtų metų tą patį įrodė senovės kinų matematikas Liu Hui.

Ankstyviausi žinomi Teiloro serijos pavyzdžiai yra Mādhavos iš Sañgamāgramos Indijoje 1300 m. darbai. Vėlesni Indijos matematikai rašė apie jo darbą su trigonometrinėmis funkcijomis sinusas, kosinusas, tangentas ir arktangentas. Šiandien nėra išlikę nė vieno Mādhavos rašto ar įrašo. Kiti matematikai rėmėsi Mādhavos atradimais ir daugiau dirbo su šiomis eilutėmis iki 1500 m.

1600 m. šioje srityje dirbo škotų matematikas Jamesas Gregory. Gregoris tyrinėjo Teiloro eilutes ir paskelbė keletą Maklaurino eilučių. 1715 m. Brookas Tayloras atrado bendrą metodą, kaip taikyti šią eilutę visoms funkcijoms. (Visi ankstesni tyrimai rodė, kaip metodą taikyti tik konkrečioms funkcijoms.) XIX a. septintajame dešimtmetyje Kolinas Maklaurinas paskelbė specialųjį Teiloro eilučių atvejį. Ši eilutė, kurios pagrindas yra apie nulį, vadinama Maklaurino eilute.

Teiloro eilutę galima naudoti bet kuriai funkcijai ƒ(x), kuri yra tolygi funkcija (arba, kalbant matematiniais terminais, "be galo diferencijuojama"), aprašyti. Tada Teiloro eilutė naudojama aprašyti, kaip funkcija atrodo tam tikro skaičiaus a kaimynystėje.

Ši Teiloro eilutė, užrašyta kaip galios eilutė, atrodo taip:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Šią formulę taip pat galima užrašyti sigma užrašu:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}

Čia n! yra n faktorialas. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) yra n-oji ƒ išvestinė taške a. a {\displaystyle a} yra skaičius funkcijos srityje. Jei funkcijos Teiloro eilutė yra lygi tai funkcijai, funkcija vadinama "analitine funkcija".

Maclaurin serija

Kai a = 0 {\displaystyle a=0} , funkcija vadinama Maklaurino eilute. Maklaurino eilutė, užrašyta kaip galios eilutė, atrodo taip:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Užrašyta sigma užrašu, Maklaurino eilutė yra:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}}

Keletas svarbių Teiloro ir Maklaurino eilučių.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ visiems x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ visiems }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ visiems x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ visiems }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 visiems x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ visiems }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n visiems x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ visiems }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ visiems x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ visiems }}x\! }

1 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ visiems | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}=\sum _{n=0}}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ visiems}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n visiems | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{tekstas{ visiems }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}}+\cdots {\text{ for }}}|x|<{\frac {\pi }{2}}! }

Kur B n {\displaystyle B_{n}} yra n-asis Bernulio skaičius, o ln {\displaystyle \ln } yra natūralusis logaritmas.