Monty Hailo (Mončio Holo) problema: paaiškinimas ir kodėl keisti padidina šansus
Monty Hall problema yra gerai žinoma tikimybių užduotis – tai klasikinis pavyzdys, kaip intuicija gali suklysti. Ji kilusi iš JAV televizijos žaidimų šou "Sudarykime sandėrį" (angl. Let's Make a Deal) ir pavadinta pagal laidų vedėją Monty Hall.
Uždavinio taisyklės
Turimos trys durys. Už vienų durų yra automobilis (didelės vertės prizas), o už kitų dvejų – ožkos (mažos vertės prizas). Žaidimas vyksta taip:
- Žaidėjas pirmiausia pasirenka vienas duris iš trijų, bet jų neatidaro.
- Vedėjas, kuris žino, kas yra už kiekvienų durų, atidaro kitas duris, už kurių, jo įsitikinimu, yra ožka. (Jeigu automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų, vedėjas atsitiktinai atidaro vienas iš dviejų durų su ožkomis.)
- Vedėjas pasiūlo žaidėjui pasilikti savo pirmąjį pasirinkimą arba pakeisti jį į trečiąsias duris – tas, kurių vedėjas neatidarė.
Svarbios prielaidos: vedėjas žino, kas už durų; jis visada atidaro duris su ožka ir visada siūlo žaidėjui pakeisti pasirinkimą. Remiantis šiomis taisyklėmis, kyla klausimas: ar pasirinkimo keitimas padidina tikimybę laimėti automobilį?
Kodėl keisti padidina tikimybę
Intuicija dažnai sako, kad uždarytų durų likusių dviejų durų tikimybės yra po 1/2, tačiau tai klaidina, nes vedėjo veiksmas prideda informaciją. Aiškiau tai pamatyti suskirstant visus galimus atvejus:
- Atvejis 1 (1/3): Žaidėjas iš pradžių pasirenka duris su automobiliu. Vedėjas atidaro vienas iš dviejų durų su ožka. Jei žaidėjas pakeis pasirinkimą, jis praras automobilį ir gaus ožką.
- Atvejis 2 (1/3): Žaidėjas iš pradžių pasirenka pirmąją ožką. Vedėjas atidaro kitą ožką. Jei žaidėjas pakeis pasirinkimą, jis laimi automobilį.
- Atvejis 3 (1/3): Žaidėjas iš pradžių pasirenka kitą ožką. Vedėjas atidaro pirmąją ožką. Jei žaidėjas pakeis pasirinkimą, jis laimi automobilį.
Iš šių trijų vienodai tikėtinų situacijų matyti, kad pakeitus pasirinkimą laimimos dvi iš trijų kartų – tikimybė laimėti automobilį keičiantis yra 2/3. Jei žaidėjas pasilieka prie pradinio pasirinkimo, jis laimi tik tada, kai iš pradžių pasirinko automobilį – tai vyksta 1/3 atvejų.
Intuityvus paaiškinimas
Trumpai tariant: pradinė žaidėjo pasirinkimo tikimybė būti teisingam yra 1/3, o būti klaidingam – 2/3. Kai vedėjas atveria vienas duris su ožka tarp dviejų neatidarytų durų, jis neigia tik vieną iš klaidingų galimybių, tad likusi neatidaryta durų pora vis dar išlaiko pradinę 2/3 tikimybę, o tai reiškia, kad pakeitus pasirinkimą žaidėjas pasinaudoja ta 2/3 tikimybe.
Praktinis patikrinimas ir variacijos
- Eksperimentas: pakartokite žaidimą daug kartų. Jei visuomet keičiatės, laimėjimų dalis artės prie 2/3; jei visuomet liekate, artės prie 1/3.
- Variacijos: jei vedėjas nežino, kas už durų, arba jeigu jis kartais atidaro duris su automobiliu (arba ne visada siūlo pakeisti), tikimybės pasikeis. Esminė prielaida Monty Hall uždavinyje yra ta, kad vedėjas žino, visada atidaro ožką ir visada leis keisti.
Dažniausios klaidos
- Nepaisyti vedėjo elgesio: daugelis klaidingai mano, kad po vedėjo veiksmo likusios dvi durys yra simetriškos, nors vedėjas specialiai pašalina vieną klaidingą pasirinkimą.
- Sumaišymas tarp vienkartinės intuicijos ir ilgalaikės tikimybės: net jei per vieną žaidimą laimėti ar pralaimėti gali pasirodyti 50/50, ilgalaikėje serijoje modelis aiškiai rodo pranašumą keičiantis.
Taigi, laikantis klasikinio Monty Hall žaidimo taisyklių, pasirinkimo keitimas padidina tikimybę gauti automobilį nuo 1/3 iki 2/3.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Monty Hall problema?
A: Monty Hallo problema yra garsi tikimybės (atsitiktinumo) problema, pagrįsta amerikiečių televizijos žaidimų šou "Sudarykime sandėrį". Jis turi trejas duris, vienas už automobilio ir dvejas už ožkų.
K. Ką žino pranešėjas?
A: Vedėjas žino, kas yra už kiekvienų durų, ir visada pasirenka duris, už kurių yra ožka.
Klausimas: Ar pakeitus pasirinkimus padidėja tikimybė gauti automobilį?
Atsakymas: Taip, pakeitus pasirinkimus, tikimybė gauti automobilį padidėja nuo 1/3 (vienas iš trijų) iki 2/3 (du iš trijų).
K: Kaip veikia ši tikimybė?
A: Pirminiame durų pasirinkimo variante yra tik 1/3 tikimybė, kad žaidėjas pasirinks duris su automobiliu. Po to yra 2/3 tikimybė, kad jei žaidėjas pakeis savo pasirinkimą pamatęs, kad šeimininkas atidarė kitas duris, jis gaus automobilį.
Klausimas.
A: Ne, yra trys skirtingi būdai laimėti arba pralaimėti, priklausomai nuo to, ar žaidėjas, pamatęs, kad šeimininkas atidaro vienas iš kitų durų, pakeičia savo pasirinkimą. Jei iš pradžių pasirenkate teisingai, o paskui pakeičiate pasirinkimą, pralaimite; jei iš pradžių pasirenkate neteisingai, bet paskui pakeičiate pasirinkimą, laimite; jei iš pradžių pasirenkate teisingai, bet paskui nepakeičiate pasirinkimo, taip pat laimite.
K: Ar tiesa, kad pakeitus žaidėją padidėja tikimybė laimėti du iš trijų kartų?
Atsakymas: Taip, tiesa, kad pakeitus lošėją padidėja tikimybė laimėti du iš trijų kartų.
