Hiperbolinė geometrija

Nesikertančios linijos

Iš to, kad per tašką P eina daugiau nei viena lygiagreti tiesė, išplaukia įdomi hiperbolinės geometrijos savybė: yra dvi nesikertančių tiesių klasės. Tegul B yra toks taškas ant l, kad tiesė PB yra statmena l. Nagrinėkime tiesę x per P, kad x nekirstų l, o kampas θ tarp PB ir x prieš laikrodžio rodyklę nuo PB būtų kuo mažesnis, t. y. bet koks mažesnis kampas priverstų tiesę kirsti l. Hiperbolinėje geometrijoje tai vadinama asimptotine tiese. Simetriškai asimptotinė bus ir linija y, sudaranti tą patį kampą θ tarp PB ir savęs, bet pagal laikrodžio rodyklę nuo PB. x ir y yra vienintelės dvi tiesės, asimptotinės l per P. Visos kitos tiesės per P, nesusikertančios su l ir sudarančios su PB didesnį nei θ kampą, vadinamos ultralygiagrečiomis (arba disjunktinėmis) l. Atkreipkite dėmesį, kad, kadangi yra begalinis skaičius galimų kampų tarp θ ir 90 laipsnių, ir kiekvienas iš jų nulemia dvi tieses per P ir disjunktines lygiagrečias su l, egzistuoja begalinis skaičius ultralygiųjų tiesių.

Taigi turime modifikuotą paralelinio postulato formą: Hiperbolinėje geometrijoje, esant bet kokiai tiesei l ir taškui P, esančiam ne ant l, per P eina lygiai dvi tiesės, kurios yra asimptotinės l, ir be galo daug tiesių, einančių per P, kurios yra ultralygiagrečios l.

Šių tipų linijų skirtumus taip pat galima vertinti taip: atstumas tarp asimptotinių linijų viena kryptimi eina iki nulio, o kita kryptimi auga neribotai; atstumas tarp ultralygiųjų linijų didėja abiem kryptimis. Ultraparalelių teorema teigia, kad hiperbolinėje plokštumoje yra unikali tiesė, kuri yra statmena kiekvienai duotai ultraparalelių tiesių porai.

Euklidinėje geometrijoje lygiagretumo kampas yra konstanta, t. y. bet koks atstumas ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } tarp lygiagrečių tiesių sudaro lygiagretumo kampą, lygų 90°. Hiperbolinėje geometrijoje lygiagretumo kampas kinta pagal Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} funkciją. Ši Nikolajaus Ivanovičiaus Lobačevskio aprašyta funkcija kiekvienam atstumui p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } sukuria unikalų lygiagretumo kampą kiekvienam atstumui p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . Atstumui mažėjant Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} artėja prie 90°, o didėjant atstumui Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} artėja prie 0°. Taigi, mažėjant atstumams, hiperbolinė plokštuma vis labiau primena Euklido geometriją. Iš tiesų, mažais mastais, palyginti su 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , kur K {\displaystyle K\! } yra (pastovus) plokštumos Gauso kreivumas, stebėtojui būtų sunku nustatyti, ar jis yra euklidinėje, ar hiperbolinėje plokštumoje.

Istorija

Įrodyti lygiagretainio postulatą bandė daugelis geometrų, tarp jų Omaras Chajamas, o vėliau Džovanis Džerolomas Sačeris, Džonas Volisas, Lambertas ir Legendras. Jų bandymai buvo nesėkmingi, tačiau jų pastangos davė pradžią hiperbolinei geometrijai. Alhaceno, Chajamo teoremos apie keturkampius buvo pirmosios hiperbolinės geometrijos teoremos. Jų darbai apie hiperbolinę geometriją turėjo įtakos vėlesnių Europos geometrų, įskaitant Vitelo, Alfonso ir Džono Voliso, hiperbolinės geometrijos raidai.

XIX a. hiperbolinę geometriją tyrinėjo János Bolyai ir Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis, kurio vardu ji kartais pavadinama. Lobačevskis ją paskelbė 1830 m., o Boliejus savarankiškai ją atrado ir paskelbė 1832 m. Karlas Frydrichas Gausas taip pat tyrinėjo hiperbolinę geometriją ir 1824 m. laiške Taurinui aprašė, kad ją sukonstravo, tačiau savo darbo nepaskelbė. 1868 m. Eugenio Beltrami pateikė jos modelius ir jais pasinaudojo įrodydamas, kad hiperbolinė geometrija yra nuosekli, jei Euklidinė geometrija yra nuosekli.

Terminą "hiperbolinė geometrija" 1871 m. įvedė Feliksas Kleinas. Daugiau istorijos žr. straipsnyje apie neeuklidinę geometriją.

Hiperbolinės plokštumos modeliai

Hiperbolinei geometrijai dažniausiai naudojami trys modeliai: Kleino modelis, Puankarė disko modelis ir Lorenco modelis, arba hiperboloido modelis. Šie modeliai apibrėžia realią hiperbolinę erdvę, kuri atitinka hiperbolinės geometrijos aksiomas. Nepaisant pavadinimų, abu disko modelius ir pusiaukelės modelį kaip hiperbolinės erdvės modelius įvedė Beltrami, o ne Poincaré ar Kleinas.

1. Kleino modelyje, dar vadinamame projekcinio disko modeliu ir Beltrami-Kleino modeliu, hiperbolinei plokštumai vaizduoti naudojamas apskritimo vidus, o apskritimo akordai - tiesės.
2. Pagal Poincaré pusplokštumos modelį pusė Euklidinės plokštumos, kurią apibrėžia Euklidinė tiesė B, yra hiperbolinė plokštuma (pati B neįtraukta).
• Hiperbolinės tiesės yra pusapskritimiai, statmeni B, arba spinduliai, statmeni B.
• Abu Poincaré modeliai išlaiko hiperbolinius kampus, todėl yra konforminiai. Todėl visos šių modelių izometrijos yra Möbius transformacijos.
• Pusplokštumos modelis yra identiškas (ties riba) Poincaré disko modeliui ties disko pakraščiu
• Šis modelis tiesiogiai taikomas specialiajam reliatyvumui, nes Minkovskio 3 erdvė yra erdvėlaikio modelis, panaikinantis vieną erdvinį matmenį. Galima laikyti, kad hiperboloidas vaizduoja įvykius, kuriuos įvairūs judantys stebėtojai, sklindantys į išorę erdvinėje plokštumoje iš vieno taško, pasieks per fiksuotą laiką. Tuomet hiperbolinį atstumą tarp dviejų hiperboloido taškų galima sutapatinti su santykiniu greičiu tarp dviejų atitinkamų stebėtojų.

Puankarė disko modelis su didžiuoju rombo formos {3,7} plytelėmis

Hiperbolinės geometrijos vizualizavimas

M. C. Ešerio garsieji atspaudai "Circle Limit III" ir "Circle Limit IV" gerai iliustruoja konforminio disko modelį. Abiejuose galima matyti geodezijas. (III paveiksle baltos linijos yra ne geodezijos, o hiperciklai, kurie eina greta jų). Taip pat galima gana aiškiai matyti neigiamą hiperbolinės plokštumos kreivumą, nes jis daro įtaką trikampių ir kvadratų kampų sumai.

Euklido plokštumoje jų kampų suma būtų 450°, t. y. apskritimas ir ketvirtainis. Iš to matome, kad hiperbolinėje plokštumoje trikampio kampų suma turi būti mažesnė nei 180°. Kita matoma savybė yra eksponentinis augimas. Pavyzdžiui, IV apskritimo riboje matome, kad n atstumu nuo centro esančių angelų ir demonų skaičius auga eksponentiškai. Demonai turi vienodą hiperbolinį plotą, todėl n spindulio rutulio plotas turi didėti eksponentiškai n.

Yra keletas būdų fiziškai realizuoti hiperbolinę plokštumą (arba jos aproksimaciją). Ypač gerai žinomas popierinis modelis, pagrįstas pseudosfera, sukurtas Viljamo Terstono (William Thurston) dėka. Hiperbolinėms plokštumoms pademonstruoti buvo naudojamas nėrimo menas, o pirmąjį tokį modelį sukūrė Daina Taimina. 2000 m. Keithas Hendersonas pademonstravo greitai pagaminamą popierinį modelį, pavadintą "hiperboliniu futbolo kamuoliu".

"Institute For Figuring" nertos hiperbolinės plokštumos, imituojančios koralinį rifą, kolekcija