Matematikoje hiperbolinė geometrija yra neeuklidinė geometrija, t. y. pakeičia Euklidinės geometrijos lygiagretainio postulatą. Euklidinės geometrijos lygiagretusis postulatas sako, kad dvimatėje erdvėje bet kuriai duotai tiesei l ir taškui P, esančiam ne ant l, per P eina lygiai viena tiesė, kuri nekerta l. Ši tiesė vadinama lygiagrečioji su l. Hiperbolinėje geometrijoje per P eina bent dvi tokios tiesės. Kadangi jos nekerta l, lygiagretusis postulatas yra klaidingas. Euklidinėje geometrijoje buvo sukurti modeliai, atitinkantys hiperbolinės geometrijos aksiomas. Šie modeliai įrodo, kad lygiagretusis postulatas nepriklauso nuo kitų Euklido postulatų.

Kadangi nėra hiperbolinio lygiagrečiųjų Euklido linijų analogo, autoriai skirtingai vartoja hiperbolinius lygiagrečiųjų ir susijusių terminų pavadinimus. Šiame straipsnyje dvi ribinės tiesės vadinamos asimptotinėmis, o tiesės, turinčios bendrą statmenį, vadinamos ultralygiagrečiomis; paprastas žodis lygiagrečios gali būti taikomas abiem atvejais.

Apibrėžimas ir pagrindinė idėja

Hiperbolinė geometrija yra dvimačio (arba aukštesnių matmenų) erdvės geometrija, kurioje galioja visos Euklido aksiomos, išskyrus lygiagretainio (paralelumo) postulatą. Vietoje vienos paralelės per tašką, nepriklausančią duotai tiesei, gali egzistuoti bent dvi tiesės, kurios nekerta duotosios tiesės. Geometrija pasižymi nuolat neigiamu (konstantiniu) kreivumu, o vietoje „plokščios“ Euklido erdvės — hiperboline erdve.

Pagrindinės savybės

  • Trikampių kampų suma: bet kurio hiperbolinio trikampio trijų kampų suma yra mažesnė už 180° (π). Skirtumas tarp π ir kampų sumos vadinamas trikampio defektu.
  • Plotas: trikampio plotas yra proporcingas jo defektui — konkrečiai, plokštumoje su konstantiniu neigiamu kreivumu K ploto formulė yra A = (1/|K|)·defektas.
  • Nėra panašumo išskyrus kongruenciją: hiperbolinėje geometrijoje trikampiai, turintys vienodus kampus, yra kongruenti (t. y. panašumas yra lygiagretus kongruencijai), todėl egzistuoja mažiau laisvės mastelio keitimui nei Euklido geometrijoje.
  • Eksponecialus augimas: apskritimo arba rutulio perimetras ir plotas auga eksponentiškai su spinduliu (skirtingai nei Euklido atveju, kur augimas yra polinominis).
  • Geodezės: trumpiausios kreivės (geodezės) hiperbolinėje plokštumoje atitinka tieses modeliuose (pvz., Poincaré disko modelyje geodezės — lankai, statmeni disko kraštinei).

Typai paraleliškumo

Hiperbolinėje geometrijoje vartojami keli paraleliškumo tipai:

  • Asimptotinės (limitinės) tiesės — dvi tiesės, kurios turi „bendrą galą“ begalybėje (turi tą patį tašką prie begalybės), bet niekada nekerta erdvėje.
  • Ultralygiagrečios tiesės — tiesės, kurios neturi bendro taško nei plokštumoje, nei prie begalybės; jos turi bendrą statmenį segmentą. Jos vadinamos ir skirtingu terminu ultraparallel.
  • Dažnai bendrinis terminas lygiagrečios apima abu atvejus, bet svarbu atskirti asimptotines nuo ultralygiagrečiųjų.

Modeliai (pavyzdžiai)

Matematikai sukūrė kelis lygiavertelius modelius hiperbolinės geometrijos vaizdavimui, dažniausiai įterptus į Euklidinę plokštumą, kas įrodo naujos geometrijos atomistinį nuoseklumą:

  • Beltrami–Klein modelis (dažnai vadinamas tiesiųjų modeliu): hiperbolinė plokštuma atvaizduojama kaip vienetasinis diskas, kuriame hiperbolinės tiesės — Euklido tiesių atkarpos, jungiančios diską kertančius taškus. Kampai šiame modelyje nėra saugomi.
  • Poincaré disko modelis: diskas su metrika, kurioje geodezės yra lankai, statmeni disko kraštinei; šis modelis išsaugo kampus (konforme), todėl labai patogus analizės ir kompleksinės analizės ryšiams.
  • Poincaré pusplokštės modelis: viršutinė pusribė Euclidiniame plote, kur geodezės yra pusapskritimai ir tiesės, statmenos x ašiai; taip pat konforminis modelis.
  • Beltrami paviršius ir kiti lokaliai izometriniai pavyzdžiai: Riemanio geometrijoje egzistuoja implantacijos, kurias vietiškai galima įkūnyti Euklido erdvėje.

Šie modeliai leidžia išreikšti hiperbolinę atstumų ir kampų formules analitiškai; pavyzdžiui, Poincaré disko atstumo formulė tarp taškų x ir y yra sudėtinga, bet leidžia aiškiai vaizduoti izometrijas ir transformacijas.

Izometrijos ir simetrijos

Hiperbolinės plokštumos izometrijų grupė yra nekompaktiška ir turi turtingą struktūrą: dvimačiu atveju izometrijos siejamos su Mobius transformacijomis, kurios palieka disko ar pusplokštės ribą invariantais (jar tiesiog perkelia „begalybės taškus“). Disko ir pusplokštės modeliuose grupės elementai gali būti klasifikuojami kaip hiperboliniai, paraboliniai ar eliptiniai, priklausomai nuo jų veikimo ant begalybės.

Trikampiai, Gauss–Bonnet ir kreivumas

  • Gauss–Bonnet teorema suteikia ryšį tarp trikampio defekto ir integralinės kreivumo dalies; hyperbolinėje erdvėje, su konstantiniu kreivumu K < 0, trikampio plotas tiesiogiai priklauso nuo defekto.
  • Konstantinis neigiamas kreivumas (pvz., K = −1 pasirinkus standartinę hiperbolinę metrą) apibrėžia vietinę geometriją ir lemia globalias savybes, pvz., geodezių skerspjūvių elgesį.

Istorija trumpai

  • Idėjos apie neeuklidines geometrijas kilo XIX a. pr. — nepriklausomai darbavo N. I. Lobachevsky ir J. Bolyai, kurie išplėtojo hiperbolinės geometrijos aksiomatines sistemas.
  • C. F. Gauss taip pat tyrinėjo galimybę, bet viešai savo rezultatų nespinduliavo. Vėliau E. Beltrami pateikė modelius (XIX a. viduryje), kurie parodė hiperbolinės geometrijos nuoseklumą, įterpiant ją į Euklido geometrijos kontekstą.

Pritaikymai ir ryšiai su kitomis sritimis

  • Topologija ir grupių teorija — hiperbolinės plokštumos bei erdvės yra esminės mokslininkų nagrinėjant hiperbolines grupes, Fuchso ir Kleino grupes bei Riemanio paviršių erdvę.
  • Teorinė fizika — hiperbolinė geometrija pasirodo kai kuriose modeliavimo srityse, pvz., bendrosios reliatyvumo teorijos sprendimuose ar AdS/CFT atitikmenyse (anti–de Sitter erdvės turi neigiamą kreivumą).
  • Kompiuterinė grafika ir optika — hiperbolinės mozaikos, pavidalai ir vizualizacijos suteikia įdomių metodų modeliuoti ir vaizduoti erdves su neįprastomis savybėmis.
  • Tesseliacijos ir menas — M. C. Escher ir kiti menininkai pasinaudojo Poincaré disko savybėmis kurdami periodines, bet nesikartojančias mozaikas.

Santrauka

Hiperbolinė geometrija yra nuosekli, matematiškai turtinga alternatyva Euklido geometrijai, pasižyminti unikaliais kampų, trikampių ir geodezių elgesiais. Skirtingi modeliai (Beltrami–Klein, Poincaré diskas, pusplokštė) leidžia aiškiai matyti šias savybes ir įrodo, kad paralelumo postulatas Euklido sistemoje nėra išvedamas iš kitų aksiomų. Hiperbolinė geometrija turi platų taikymą matematikos, fizikos, kompiuterijos ir meno srityse.