Hiperbolinė geometrija: apibrėžimas, savybės ir modeliai

Sužinokite hiperbolinės geometrijos apibrėžimą, pagrindines savybes ir modelius — asimptotinės linijos, ultralygiagrečios ir praktiniai pavyzdžiai aiškiai ir suprantamai.

Autorius: Leandro Alegsa

12-12-2025 21:23

Matematikoje hiperbolinė geometrija yra neeuklidinė geometrija, t. y. pakeičia Euklidinės geometrijos lygiagretainio postulatą. Euklidinės geometrijos lygiagretusis postulatas sako, kad dvimatėje erdvėje bet kuriai duotai tiesei l ir taškui P, esančiam ne ant l, per P eina lygiai viena tiesė, kuri nekerta l. Ši tiesė vadinama lygiagrečioji su l. Hiperbolinėje geometrijoje per P eina bent dvi tokios tiesės. Kadangi jos nekerta l, lygiagretusis postulatas yra klaidingas. Euklidinėje geometrijoje buvo sukurti modeliai, atitinkantys hiperbolinės geometrijos aksiomas. Šie modeliai įrodo, kad lygiagretusis postulatas nepriklauso nuo kitų Euklido postulatų.

Kadangi nėra hiperbolinio lygiagrečiųjų Euklido linijų analogo, autoriai skirtingai vartoja hiperbolinius lygiagrečiųjų ir susijusių terminų pavadinimus. Šiame straipsnyje dvi ribinės tiesės vadinamos asimptotinėmis, o tiesės, turinčios bendrą statmenį, vadinamos ultralygiagrečiomis; paprastas žodis lygiagrečios gali būti taikomas abiem atvejais.

Apibrėžimas ir pagrindinė idėja

Hiperbolinė geometrija yra dvimačio (arba aukštesnių matmenų) erdvės geometrija, kurioje galioja visos Euklido aksiomos, išskyrus lygiagretainio (paralelumo) postulatą. Vietoje vienos paralelės per tašką, nepriklausančią duotai tiesei, gali egzistuoti bent dvi tiesės, kurios nekerta duotosios tiesės. Geometrija pasižymi nuolat neigiamu (konstantiniu) kreivumu, o vietoje „plokščios“ Euklido erdvės — hiperboline erdve.

Pagrindinės savybės

Trikampių kampų suma: bet kurio hiperbolinio trikampio trijų kampų suma yra mažesnė už 180° (π). Skirtumas tarp π ir kampų sumos vadinamas trikampio defektu.
Plotas: trikampio plotas yra proporcingas jo defektui — konkrečiai, plokštumoje su konstantiniu neigiamu kreivumu K ploto formulė yra A = (1/|K|)·defektas.
Nėra panašumo išskyrus kongruenciją: hiperbolinėje geometrijoje trikampiai, turintys vienodus kampus, yra kongruenti (t. y. panašumas yra lygiagretus kongruencijai), todėl egzistuoja mažiau laisvės mastelio keitimui nei Euklido geometrijoje.
Eksponecialus augimas: apskritimo arba rutulio perimetras ir plotas auga eksponentiškai su spinduliu (skirtingai nei Euklido atveju, kur augimas yra polinominis).
Geodezės: trumpiausios kreivės (geodezės) hiperbolinėje plokštumoje atitinka tieses modeliuose (pvz., Poincaré disko modelyje geodezės — lankai, statmeni disko kraštinei).

Typai paraleliškumo

Hiperbolinėje geometrijoje vartojami keli paraleliškumo tipai:

Asimptotinės (limitinės) tiesės — dvi tiesės, kurios turi „bendrą galą“ begalybėje (turi tą patį tašką prie begalybės), bet niekada nekerta erdvėje.
Ultralygiagrečios tiesės — tiesės, kurios neturi bendro taško nei plokštumoje, nei prie begalybės; jos turi bendrą statmenį segmentą. Jos vadinamos ir skirtingu terminu ultraparallel.
Dažnai bendrinis terminas lygiagrečios apima abu atvejus, bet svarbu atskirti asimptotines nuo ultralygiagrečiųjų.

Modeliai (pavyzdžiai)

Matematikai sukūrė kelis lygiavertelius modelius hiperbolinės geometrijos vaizdavimui, dažniausiai įterptus į Euklidinę plokštumą, kas įrodo naujos geometrijos atomistinį nuoseklumą:

Beltrami–Klein modelis (dažnai vadinamas tiesiųjų modeliu): hiperbolinė plokštuma atvaizduojama kaip vienetasinis diskas, kuriame hiperbolinės tiesės — Euklido tiesių atkarpos, jungiančios diską kertančius taškus. Kampai šiame modelyje nėra saugomi.
Poincaré disko modelis: diskas su metrika, kurioje geodezės yra lankai, statmeni disko kraštinei; šis modelis išsaugo kampus (konforme), todėl labai patogus analizės ir kompleksinės analizės ryšiams.
Poincaré pusplokštės modelis: viršutinė pusribė Euclidiniame plote, kur geodezės yra pusapskritimai ir tiesės, statmenos x ašiai; taip pat konforminis modelis.
Beltrami paviršius ir kiti lokaliai izometriniai pavyzdžiai: Riemanio geometrijoje egzistuoja implantacijos, kurias vietiškai galima įkūnyti Euklido erdvėje.

Šie modeliai leidžia išreikšti hiperbolinę atstumų ir kampų formules analitiškai; pavyzdžiui, Poincaré disko atstumo formulė tarp taškų x ir y yra sudėtinga, bet leidžia aiškiai vaizduoti izometrijas ir transformacijas.

Izometrijos ir simetrijos

Hiperbolinės plokštumos izometrijų grupė yra nekompaktiška ir turi turtingą struktūrą: dvimačiu atveju izometrijos siejamos su Mobius transformacijomis, kurios palieka disko ar pusplokštės ribą invariantais (jar tiesiog perkelia „begalybės taškus“). Disko ir pusplokštės modeliuose grupės elementai gali būti klasifikuojami kaip hiperboliniai, paraboliniai ar eliptiniai, priklausomai nuo jų veikimo ant begalybės.

Trikampiai, Gauss–Bonnet ir kreivumas

Gauss–Bonnet teorema suteikia ryšį tarp trikampio defekto ir integralinės kreivumo dalies; hyperbolinėje erdvėje, su konstantiniu kreivumu K < 0, trikampio plotas tiesiogiai priklauso nuo defekto.
Konstantinis neigiamas kreivumas (pvz., K = −1 pasirinkus standartinę hiperbolinę metrą) apibrėžia vietinę geometriją ir lemia globalias savybes, pvz., geodezių skerspjūvių elgesį.

Istorija trumpai

Idėjos apie neeuklidines geometrijas kilo XIX a. pr. — nepriklausomai darbavo N. I. Lobachevsky ir J. Bolyai, kurie išplėtojo hiperbolinės geometrijos aksiomatines sistemas.
C. F. Gauss taip pat tyrinėjo galimybę, bet viešai savo rezultatų nespinduliavo. Vėliau E. Beltrami pateikė modelius (XIX a. viduryje), kurie parodė hiperbolinės geometrijos nuoseklumą, įterpiant ją į Euklido geometrijos kontekstą.

Pritaikymai ir ryšiai su kitomis sritimis

Topologija ir grupių teorija — hiperbolinės plokštumos bei erdvės yra esminės mokslininkų nagrinėjant hiperbolines grupes, Fuchso ir Kleino grupes bei Riemanio paviršių erdvę.
Teorinė fizika — hiperbolinė geometrija pasirodo kai kuriose modeliavimo srityse, pvz., bendrosios reliatyvumo teorijos sprendimuose ar AdS/CFT atitikmenyse (anti–de Sitter erdvės turi neigiamą kreivumą).
Kompiuterinė grafika ir optika — hiperbolinės mozaikos, pavidalai ir vizualizacijos suteikia įdomių metodų modeliuoti ir vaizduoti erdves su neįprastomis savybėmis.
Tesseliacijos ir menas — M. C. Escher ir kiti menininkai pasinaudojo Poincaré disko savybėmis kurdami periodines, bet nesikartojančias mozaikas.

Santrauka

Hiperbolinė geometrija yra nuosekli, matematiškai turtinga alternatyva Euklido geometrijai, pasižyminti unikaliais kampų, trikampių ir geodezių elgesiais. Skirtingi modeliai (Beltrami–Klein, Poincaré diskas, pusplokštė) leidžia aiškiai matyti šias savybes ir įrodo, kad paralelumo postulatas Euklido sistemoje nėra išvedamas iš kitų aksiomų. Hiperbolinė geometrija turi platų taikymą matematikos, fizikos, kompiuterijos ir meno srityse.

Linijos, einančios per duotą tašką P ir asimptotinės tiesei l.

Hiperbolinis trikampis

Nesikertančios linijos

Iš to, kad per tašką P eina daugiau nei viena lygiagreti tiesė, išplaukia įdomi hiperbolinės geometrijos savybė: yra dvi nesikertančių tiesių klasės. Tegul B yra toks taškas ant l, kad tiesė PB yra statmena l. Nagrinėkime tiesę x per P, kad x nekirstų l, o kampas θ tarp PB ir x prieš laikrodžio rodyklę nuo PB būtų kuo mažesnis, t. y. bet koks mažesnis kampas priverstų tiesę kirsti l. Hiperbolinėje geometrijoje tai vadinama asimptotine tiese. Simetriškai asimptotinė bus ir linija y, sudaranti tą patį kampą θ tarp PB ir savęs, bet pagal laikrodžio rodyklę nuo PB. x ir y yra vienintelės dvi tiesės, asimptotinės l per P. Visos kitos tiesės per P, nesusikertančios su l ir sudarančios su PB didesnį nei θ kampą, vadinamos ultralygiagrečiomis (arba disjunktinėmis) l. Atkreipkite dėmesį, kad, kadangi yra begalinis skaičius galimų kampų tarp θ ir 90 laipsnių, ir kiekvienas iš jų nulemia dvi tieses per P ir disjunktines lygiagrečias su l, egzistuoja begalinis skaičius ultralygiųjų tiesių.

Taigi turime modifikuotą paralelinio postulato formą: Hiperbolinėje geometrijoje, esant bet kokiai tiesei l ir taškui P, esančiam ne ant l, per P eina lygiai dvi tiesės, kurios yra asimptotinės l, ir be galo daug tiesių, einančių per P, kurios yra ultralygiagrečios l.

Šių tipų linijų skirtumus taip pat galima vertinti taip: atstumas tarp asimptotinių linijų viena kryptimi eina iki nulio, o kita kryptimi auga neribotai; atstumas tarp ultralygiųjų linijų didėja abiem kryptimis. Ultraparalelių teorema teigia, kad hiperbolinėje plokštumoje yra unikali tiesė, kuri yra statmena kiekvienai duotai ultraparalelių tiesių porai.

Euklidinėje geometrijoje lygiagretumo kampas yra konstanta, t. y. bet koks atstumas ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } $\lVert BP\rVert$ tarp lygiagrečių tiesių sudaro lygiagretumo kampą, lygų 90°. Hiperbolinėje geometrijoje lygiagretumo kampas kinta pagal Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} $\Pi (p)$ funkciją. Ši Nikolajaus Ivanovičiaus Lobačevskio aprašyta funkcija kiekvienam atstumui p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } sukuria unikalų lygiagretumo kampą kiekvienam atstumui p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } $p=\lVert BP\rVert$ . Atstumui mažėjant Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} $\Pi (p)$ artėja prie 90°, o didėjant atstumui Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} artėja $\Pi (p)$ prie 0°. Taigi, mažėjant atstumams, hiperbolinė plokštuma vis labiau primena Euklido geometriją. Iš tiesų, mažais mastais, palyginti su 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} ${\frac {1}{\sqrt {-K}}}$ , kur K {\displaystyle K\! } $K\!$ yra (pastovus) plokštumos Gauso kreivumas, stebėtojui būtų sunku nustatyti, ar jis yra euklidinėje, ar hiperbolinėje plokštumoje.

Istorija

Įrodyti lygiagretainio postulatą bandė daugelis geometrų, tarp jų Omaras Chajamas, o vėliau Džovanis Džerolomas Sačeris, Džonas Volisas, Lambertas ir Legendras. Jų bandymai buvo nesėkmingi, tačiau jų pastangos davė pradžią hiperbolinei geometrijai. Alhaceno, Chajamo teoremos apie keturkampius buvo pirmosios hiperbolinės geometrijos teoremos. Jų darbai apie hiperbolinę geometriją turėjo įtakos vėlesnių Europos geometrų, įskaitant Vitelo, Alfonso ir Džono Voliso, hiperbolinės geometrijos raidai.

XIX a. hiperbolinę geometriją tyrinėjo János Bolyai ir Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis, kurio vardu ji kartais pavadinama. Lobačevskis ją paskelbė 1830 m., o Boliejus savarankiškai ją atrado ir paskelbė 1832 m. Karlas Frydrichas Gausas taip pat tyrinėjo hiperbolinę geometriją ir 1824 m. laiške Taurinui aprašė, kad ją sukonstravo, tačiau savo darbo nepaskelbė. 1868 m. Eugenio Beltrami pateikė jos modelius ir jais pasinaudojo įrodydamas, kad hiperbolinė geometrija yra nuosekli, jei Euklidinė geometrija yra nuosekli.

Terminą "hiperbolinė geometrija" 1871 m. įvedė Feliksas Kleinas. Daugiau istorijos žr. straipsnyje apie neeuklidinę geometriją.

Hiperbolinės plokštumos modeliai

Hiperbolinei geometrijai dažniausiai naudojami trys modeliai: Kleino modelis, Puankarė disko modelis ir Lorenco modelis, arba hiperboloido modelis. Šie modeliai apibrėžia realią hiperbolinę erdvę, kuri atitinka hiperbolinės geometrijos aksiomas. Nepaisant pavadinimų, abu disko modelius ir pusiaukelės modelį kaip hiperbolinės erdvės modelius įvedė Beltrami, o ne Poincaré ar Kleinas.

Kleino modelyje, dar vadinamame projekcinio disko modeliu ir Beltrami-Kleino modeliu, hiperbolinei plokštumai vaizduoti naudojamas apskritimo vidus, o apskritimo akordai - tiesės.
Pagal Poincaré pusplokštumos modelį pusė Euklidinės plokštumos, kurią apibrėžia Euklidinė tiesė B, yra hiperbolinė plokštuma (pati B neįtraukta).

Hiperbolinės tiesės yra pusapskritimiai, statmeni B, arba spinduliai, statmeni B.
Abu Poincaré modeliai išlaiko hiperbolinius kampus, todėl yra konforminiai. Todėl visos šių modelių izometrijos yra Möbius transformacijos.
Pusplokštumos modelis yra identiškas (ties riba) Poincaré disko modeliui ties disko pakraščiu
Šis modelis tiesiogiai taikomas specialiajam reliatyvumui, nes Minkovskio 3 erdvė yra erdvėlaikio modelis, panaikinantis vieną erdvinį matmenį. Galima laikyti, kad hiperboloidas vaizduoja įvykius, kuriuos įvairūs judantys stebėtojai, sklindantys į išorę erdvinėje plokštumoje iš vieno taško, pasieks per fiksuotą laiką. Tuomet hiperbolinį atstumą tarp dviejų hiperboloido taškų galima sutapatinti su santykiniu greičiu tarp dviejų atitinkamų stebėtojų.

Puankarė disko modelis su didžiuoju rombo formos {3,7} plytelėmis

Hiperbolinės geometrijos vizualizavimas

M. C. Ešerio garsieji atspaudai "Circle Limit III" ir "Circle Limit IV" gerai iliustruoja konforminio disko modelį. Abiejuose galima matyti geodezijas. (III paveiksle baltos linijos yra ne geodezijos, o hiperciklai, kurie eina greta jų). Taip pat galima gana aiškiai matyti neigiamą hiperbolinės plokštumos kreivumą, nes jis daro įtaką trikampių ir kvadratų kampų sumai.

Euklido plokštumoje jų kampų suma būtų 450°, t. y. apskritimas ir ketvirtainis. Iš to matome, kad hiperbolinėje plokštumoje trikampio kampų suma turi būti mažesnė nei 180°. Kita matoma savybė yra eksponentinis augimas. Pavyzdžiui, IV apskritimo riboje matome, kad n atstumu nuo centro esančių angelų ir demonų skaičius auga eksponentiškai. Demonai turi vienodą hiperbolinį plotą, todėl n spindulio rutulio plotas turi didėti eksponentiškai n.

Yra keletas būdų fiziškai realizuoti hiperbolinę plokštumą (arba jos aproksimaciją). Ypač gerai žinomas popierinis modelis, pagrįstas pseudosfera, sukurtas Viljamo Terstono (William Thurston) dėka. Hiperbolinėms plokštumoms pademonstruoti buvo naudojamas nėrimo menas, o pirmąjį tokį modelį sukūrė Daina Taimina. 2000 m. Keithas Hendersonas pademonstravo greitai pagaminamą popierinį modelį, pavadintą "hiperboliniu futbolo kamuoliu".

"Institute For Figuring" nertos hiperbolinės plokštumos, imituojančios koralinį rifą, kolekcija

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra hiperbolinė geometrija?

A: Hiperbolinė geometrija yra neeuklidinė geometrija, t. y. Euklidinę geometriją apibrėžiantis lygiagretainio postulatas nėra teisingas. Hiperbolinėje plokštumoje tiesės, kurios iš pradžių buvo lygiagrečios, vis labiau tolsta viena nuo kitos.

K: Kuo hiperbolinė geometrija skiriasi nuo įprastos plokščios plokštumos geometrijos?

A: Euklidinės geometrijos taisyklę pakeitus hiperbolinės geometrijos taisykle, ji veikia kitaip nei įprasta plokščiosios plokštumos geometrija. Pavyzdžiui, trikampių kampai bus mažesni nei 180 laipsnių, o tai reiškia, kad jie bus per daug smailūs ir atrodys taip, tarsi kraštinės grimztų į vidurį.

Klausimas: Ar yra kokių nors realių objektų, kurių forma panaši į hiperbolinės plokštumos gabalėlius?

A: Taip, kai kurių rūšių koralai ir salotos yra hiperbolinės plokštumos dalių formos.

K: Kodėl gali būti lengviau nubraižyti interneto žemėlapį, kai žemėlapis nėra plokščias?

A: Gali būti lengviau nubraižyti interneto žemėlapį, kai žemėlapis nėra plokščias, nes kraštuose yra daugiau kompiuterių, o centre - labai mažai.

K: Ar ši koncepcija taikoma ne tik sudarant kompiuterių tinklų žemėlapius?

A: Kai kurie fizikai netgi mano, kad mūsų visata yra šiek tiek hiperboliška.

Ieškoti