Matematinė analizė

Matematinės analizės dalys

Apribojimai

Matematinės analizės pavyzdys - ribos. Ribos naudojamos norint pamatyti, kas vyksta labai arti daiktų. Ribos taip pat gali būti naudojamos norint sužinoti, kas atsitinka, kai daiktai tampa labai dideli. Pavyzdžiui, 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} niekada nebūna nulis, bet kai n didėja, 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} tampa arti nulio. 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} riba, kai n didėja, yra lygi nuliui. Paprastai sakoma: "1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} riba, kai n eina į begalybę, lygi nuliui". Ji užrašoma taip: lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}}=0} .

Atitikmuo būtų 2 × n {\displaystyle {2}\kartais {n}} . Kai n {\displaystyle {n}} didėja, riba pereina į begalybę. Ji užrašoma kaip lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } .

Pagrindinė algebros teorema gali būti įrodyta remiantis kai kuriais pagrindiniais kompleksinės analizės rezultatais. Ji teigia, kad kiekvienas polinomas f ( x ) {\displaystyle f(x)} su realiaisiais arba kompleksiniais koeficientais turi kompleksinę šaknį. Šaknis yra skaičius x, kuris duoda sprendinį f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Kai kurios iš šių šaknų gali būti vienodos.

Diferencialinis skaičiavimas

Funkcija f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} yra tiesė. M {\displaystyle {m}} rodo funkcijos nuolydį, o c {\displaystyle {c}} rodo funkcijos padėtį ordinatėje. Turint du tiesės taškus, nuolydį m {\displaystyle {m}} galima apskaičiuoti:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={{\frac {y_{1}-y_{0}}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Funkcija, kurios forma f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} kuri nėra tiesinė, negalima apskaičiuoti taip, kaip nurodyta pirmiau. Nuolydį galima apskaičiuoti tik naudojant liestines ir įstrižaines. Sekantas eina per du taškus, o kai šie du taškai priartėja, jis virsta liestine.

Naujoji formulė yra m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Tai vadinama skirtumo koeficientu. Dabar x 1 {\displaystyle x_{1}} priartėja prie x 0 {\displaystyle x_{0}}. . Tai galima išreikšti šia formule:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Rezultatas vadinamas f išvestine arba nuolydžiu taške x {\displaystyle {x}} .

Integracija

Integracija susijusi su plotų skaičiavimu.

Simbolis ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} x}

skaitomas kaip "f integralas nuo a iki b" ir reiškia plotą tarp x ašies, funkcijos f grafiko ir tiesių x=a ir x=b. a {\displaystyle a} yra taškas, kuriame plotas turėtų prasidėti, o b {\displaystyle b} yra taškas, kuriame plotas baigiasi.

Susiję puslapiai

Kai kurios analizės temos:

• Calculus
• Sudėtinga analizė
• Funkcinė analizė
• Skaitmeninė analizė

Keletas naudingų analizės idėjų:

• Serija
• Sekos
• Išvestinės finansinės priemonės
• Integralai