Harmoninė serija – diverguojanti begalinė suma 1 + 1/2 + 1/3 + …

Tai, kad harmoninė eilutė diverguoja, pirmą kartą XIV a. įrodė Nikolas Oresmas, tačiau tai buvo pamiršta. XVII a. įrodymus pateikė Pietro Mengoli, Johannas Bernoulli ir Jacobas Bernoulli.

Harmonines sekas naudojo architektai. Baroko laikotarpiu architektai jas naudojo bažnyčių ir rūmų aukštų planų, aukštų proporcijoms ir architektūrinių detalių santykiams.

Yra keletas gerai žinomų harmoninių eilučių divergencijos įrodymų. Keletas iš jų pateikiami toliau.

Lyginamasis testas

Vienas iš būdų įrodyti divergenciją - palyginti harmoninę eilutę su kita divergentine eilute, kurioje kiekvienas vardiklis pakeičiamas kita didžiąja dviejų galūne:

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}}+{\frac {1}{8}}}+{\frac {1}{9}}}+\cdots \\[12pt]\geq {}&1+{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}+\cdots \end{aligned}}}

Kiekvienas harmoninės eilės narys yra didesnis arba lygus atitinkamam antrosios eilės nariui, todėl harmoninės eilės suma turi būti didesnė arba lygi antrosios eilės sumai. Tačiau antrosios eilės suma yra begalinė:

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}}\right)+\left({\frac {1}{4}}}\!+\!{\frac {1}{4}}}\right)+\left({\frac {1}{8}}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}}į dešinę)+\left({\frac {1}{16}}}\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{16}}} dešinėje)+\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}}

Vadinasi (atlikus palyginimo testą), harmoninių eilučių suma taip pat turi būti begalinė. Tiksliau, pirmiau pateiktas palyginimas įrodo, kad

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}}

kiekvienam teigiamam sveikam skaičiui k.

Šis įrodymas, kurį apie 1350 m. pasiūlė Nicole'as Oresme'as, laikomas viduramžių matematikos viršūne. Jis ir šiandien yra standartinis matematikos pamokose dėstomas įrodymas.

Integralusis bandymas

Galima įrodyti, kad harmoninė eilutė diverguoja, palyginus jos sumą su netinkamu integralu. Panagrinėkime dešinėje esančiame paveikslėlyje pavaizduotą stačiakampių išsidėstymą. Kiekvienas stačiakampis yra 1 vieneto pločio ir 1/n vienetų aukščio, todėl bendras begalinio skaičiaus stačiakampių plotas yra harmoninės eilės suma:

stačiakampių plotas = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{plotas}}}\\{\text{tiesiakampių}}\{end{array}}=1+{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}}+\cdots }

Visą plotą po kreive y = 1/x nuo 1 iki begalybės nusako divergentinis netinkamas integralas:

plotas po kreive = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ . {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{plotas po}}}\\{\text{krivulė}}}end{array}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}},dx=\infty . }

Kadangi visas šis plotas yra stačiakampiuose, bendras stačiakampių plotas taip pat turi būti begalinis. Tai įrodo, kad

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}},dx=\ln(k+1). }

Šio argumento apibendrinimas vadinamas integraliniu testu.

Harmoninė eilutė skiriasi labai lėtai. Pavyzdžiui, pirmųjų 1043 narių suma yra mažesnė nei 100. Taip yra todėl, kad eilės dalinėms sumoms būdingas logaritminis augimas. Konkrečiai,

∑ n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gama +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}}

kur γ yra Eulerio-Mascheronio konstanta, o εk ~ 1/2k, kuri artėja prie 0, kai k eina į begalybę. Leonhardas Euleris įrodė ir tai, ir tai, kad suma, į kurią įeina tik atvirkštinės pirminių skaičių sumos, taip pat diverguoja, t. y:

∑ p pirminis 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ . {\displaystyle \sum _{p{\text{ prime }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}+{\frac {1}{17}}}+\cdots =\infty . }

Galutinės dalinės diverguojančių harmoninių eilučių sumos,

H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}},}

vadinami harmoniniais skaičiais.

Skirtumas tarp Hn ir ln n konverguoja prie Eulerio-Mascheronio konstantos. Skirtumas tarp bet kurių dviejų harmoninių skaičių niekada nėra sveikasis skaičius. Nė vienas harmoninis skaičius nėra sveikasis skaičius, išskyrus _H1 = 1.

Kintamosios harmoninės eilės

Serija

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}=1-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{3}}}-{\frac {1}{4}}}+{\frac {1}{5}}}-\cdots }

vadinama kintamąja harmonine eilute. Ši eilutė konverguoja pagal kintamosios eilės testą. Visų pirma, suma yra lygi natūraliojo logaritmo 2 vertei:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}

Nors kintamoji harmoninė eilutė yra sąlygiškai konverguojanti, ji nėra absoliučiai konverguojanti: jei eilutės nariai sistemingai pertvarkomi, paprastai suma tampa kitokia ir, priklausomai nuo pertvarkymo, galbūt net begalinė.

Kintamosios harmoninės eilės formulė yra Merkatoriaus eilės, Tayloro natūraliojo logaritmo eilės, specialus atvejis.

Susijusią eilutę galima išvesti iš arktangento Teiloro eilės:

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{2n+1}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}-{\frac {1}{7}}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}. }

Tai vadinama Leibnico eilute.

Bendrosios harmoninės serijos

Bendroji harmoninė eilutė yra tokios formos

∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}

kur a ≠ 0 ir b yra realieji skaičiai, o b/a nėra nulis arba neigiamas sveikasis skaičius.

Atlikus ribinio palyginimo su harmoninėmis eilutėmis testą, visos bendrosios harmoninės eilutės taip pat skiriasi.

p serijos

Harmoninių eilučių apibendrinimas yra p eilutė (arba hiperharmoninė eilutė), apibrėžiama taip

∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

Kai p = 1, p- eilutė yra harmoninė eilutė, kuri diverguoja. Arba integralinis testas, arba Kaušio kondensacijos testas rodo, kad p eilutė konverguoja visiems p > 1 (tokiu atveju ji vadinama perharmonine eilute) ir diverguoja visiems p ≤ 1. Jei p > 1, tai p eilučių suma yra ζ(p), t. y. Rymano zeta funkcija, įvertinta ties p.

Problema, kaip rasti sumą, kai p = 2, vadinama Bazelio problema; Leonhardas Euleris parodė, kad ji yra π2/6. Suma p = 3 vadinama Apyrio konstanta, nes Rodžeris Apyris įrodė, kad tai iracionalusis skaičius.

ln serija

Su p eilute susijusi ln eilutė, apibrėžiama taip

∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}

bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui p. Tai galima įrodyti integraliniu bandymu, nes p ≤ 1 atveju ji diverguoja, bet p > 1 atveju konverguoja.

φ serijos

Bet kokiai išgaubtai realiajai funkcijai φ, tokiai, kad

lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},}}

serija

∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}}\right)}

yra konverguojantis. ^[]

Atsitiktinės harmoninės serijos

Atsitiktinė harmoninė eilutė

∑ n = 1 ∞ s n n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}

kur _sn yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę atsitiktiniai kintamieji, įgyjantys reikšmes +1 ir -1 su vienoda tikimybe 1/2, yra gerai žinomas tikimybių teorijos pavyzdys, kai atsitiktinių kintamųjų eilutė konverguoja su tikimybe 1. Šis konvergavimo faktas yra paprasta Kolmogorovo trijų eilučių teoremos arba glaudžiai susijusios Kolmogorovo maksimalios nelygybės pasekmė. Byronas Schmulandas iš Albertos universiteto toliau nagrinėjo atsitiktinių harmoninių eilučių savybes ir parodė, kad konverguojanti eilutė yra atsitiktinis kintamasis, pasižymintis kai kuriomis įdomiomis savybėmis. Visų pirma šio atsitiktinio kintamojo tikimybės tankio funkcija, įvertinta esant +2 arba -2, įgyja reikšmę 0,12499999999999999999999999999999764..., kuri nuo 1/8 skiriasi mažiau nei 10-42. Šmulando straipsnyje paaiškinama, kodėl ši tikimybė yra tokia artima 1/8, bet ne visai lygi jai. Tikslią šios tikimybės vertę nusako begalinės kosinuso sandaugos integralas _C2, padalytas iš π.

Išsemtos harmoninių eilės

Galima įrodyti, kad išskaidyta harmoninė eilutė, iš kurios pašalinami visi nariai, kurių vardiklyje bet kur yra skaitmuo 9, konverguoja ir jos vertė yra mažesnė už 80. Tiesą sakant, kai pašalinami visi nariai, kuriuose yra bet kuri konkreti skaitmenų eilutė (bet kuriame pagrinde), eilutė konverguoja.

Harmoninė eilutė gali būti nelogiška. Taip yra todėl, kad tai yra divergentinė eilutė, nors jos nariai mažėja ir artėja prie nulio. Harmoninės eilutės divergencija yra kai kurių paradoksų šaltinis.

• "Kirminas ant gumytės". Tarkime, kad kirminas šliaužia be galo elastinga vieno metro ilgio gumine juosta tuo pačiu metu, kai ši juosta yra tolygiai ištempta. Jei sliekas per minutę nueina 1 centimetrą, o juosta per minutę išsitempia 1 metrą, ar sliekas kada nors pasieks gumytės galą? Atsakymas, priešingai nei įprasta, yra "taip", nes po n minučių sliekas įveiks tokį atstumą, kad jo nueito kelio ir viso gumytės ilgio santykis bus

1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}. }

Kadangi, didėjant n, eilutė darosi vis didesnė, galiausiai šis santykis turi viršyti 1, o tai reiškia, kad kirminas pasiekia gumytės galą. Tačiau n reikšmė, kuriai esant tai įvyksta, turi būti labai didelė: maždaug e100, t. y. skaičius, viršijantis 1043 minutes (1037 metus). Nors harmoninė eilutė ir skiriasi, tačiau tai vyksta labai lėtai.

• Džipo uždavinyje klausiama, kiek iš viso degalų reikia, kad ribotos talpos automobilis įveiktų dykumą, pakeliui palikdamas degalų lašelius. Atstumas, kurį automobilis gali nuvažiuoti su tam tikru degalų kiekiu, yra susijęs su harmoninių eilučių dalinėmis sumomis, kurios auga logaritmiškai. Taigi degalų poreikis didėja eksponentiškai, didėjant norimam atstumui.

• Blokų sudėjimo problema: turint vienodų domino kaladėlių rinkinį, galima jas sudėti prie stalo krašto taip, kad jos kabotų virš stalo krašto ir nenukristų. Priešingas intuicijai rezultatas yra tas, kad juos galima sukrauti taip, kad iškyša būtų tokia didelė, kokios tik norite. Tai yra, jei domino kauliukų yra pakankamai.

• Plaukikas, kuris plaukia greičiau kiekvieną kartą, kai paliečia baseino sienelę. Plaukikas pradeda plaukti per 10 m ilgio baseiną 2 m/s greičiu, o kaskart plaukdamas dar 2 m/s greičiu. Teoriškai plaukiko greitis yra neribotas, tačiau norint pasiekti tokį greitį, reikia labai daug kartų perplaukti baseiną; pavyzdžiui, kad pasiektų šviesos greitį (neatsižvelgiant į specialųjį reliatyvumą), plaukikas turi perplaukti baseiną 150 milijonų kartų. Priešingai šiam dideliam skaičiui, laikas, kurio reikia tam tikram greičiui pasiekti, priklauso nuo eilučių sumos bet kuriuo konkrečiu baseino kirtimų skaičiumi:

10 2 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {10}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}. }

Apskaičiavus sumą paaiškėja, kad šviesos greičiui pasiekti reikia tik 97 sekundžių.

• Harmoninė progresija
• Abipusių sumų sąrašas