Logaritminė skalė – apibrėžimas ir taikymai (pH, decibelai, Richterio skalė)
Logaritminė skalė — apibrėžimas ir taikymai: pH, decibelai, Richterio skalė. Aiškūs paaiškinimai, pavyzdžiai ir praktinis naudojimas kasdienėse ir mokslo situacijose.
Logaritminė skalė – tai skalė, kurioje matuojami dydžiai pagal jų santykį (dauginimo santykį), o ne pagal tiesinį skirtumą. Ji ypač naudinga, kai matuojami dydžiai apima labai platų intervalą: logaritmas suspaudžia dideles verčių eilutes į lengviau tvarkomą mastą. Tokias skales dažnai taikome žemės drebėjimų stiprumui, garso stiprumui, šviesos intensyvumui ir tirpalų pH.
Kas tai reiškia matematiškai?
Logaritminė skalė remiasi logaritmine funkcija. Jei x yra matuojamas dydis, tada jo logaritminė reikšmė bazine b yra log_b(x). Svarbios savybės:
- Multiplikacija virsta sudėtimi: log_b(x·y) = log_b(x) + log_b(y).
- Padalijimas virsta atimtimi: log_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y).
- Kartotiniai (pvz., 10×, 100×) tampa pastoviais atstumais (pvz., 1, 2 dekados bazėje 10).
Dažni praktiniai formulės pavyzdžiai
- pH: pH = −log10[H+]. Tai reiškia, kad pH skirtumas 1 atitinka 10 kartų skirtumą vandenilio jonų koncetracijoje. Pvz., pH 4 yra 1000 kartų rūgštesnis nei pH 7.
- Decibelai (dB): decibelas yra logaritminis vienetas, matuojantis santykį. Dažniausiai naudojamos dvi formulės:
- galia: L = 10·log10(P/P0)
- spaudi arba įtampa (amplitudė): L = 20·log10(p/p0)
- Richterio (magnitudės) skalė: žemės drebėjimų atveju magnitudė M yra logaritminė funkcija nuo įrašytos bangos amplitudės. Apytiksliai vieno magnitudės vieneto padidėjimas reiškia apie 10 kartų didesnę bangos amplitudę ir maždaug 31,6 karto (10^(1,5)) daugiau išlaisvintos energijos.
Kodėl logaritminės skalės naudingos?
- Jos sumažina dideles verčių skirtumus: lengviau pavaizduoti ir interpretuoti duomenis, kurių reikšmės kinta keletą ar daugiau eilės laipsnių.
- Jos atitinka daugelį gamtos ir techninių procesų, kurie yra multiplikatyvūs (pvz., garso intensyvumo sumažėjimas atstumu, cheminės koncentracijos pokyčiai).
- Žmogaus pojūčiai dažnai reaguoja logaritmiškai arba pagal galingumo dėsnį: todėl logaritminės skalės geriau atspindi suvokiamus skirtumus. Pvz., mūsų klausos suvokimas vienodus dažnių daugiklius suvokia kaip vienodus aukščio skirtumus, o Stivenso galios dėsnis (žr: Stivenso galios dėsnį) taip pat paaiškina, kodėl tam tikri pojūčiai geriau aprašomi logaritmais.
- Grafikuose logaritminės skalės (semilog, log-log) leidžia linėti įžvelgti tiesines priklausomybes, kai originali priklausomybė yra eksponentinė arba potencinė.
Praktiniai pavyzdžiai ir sąvokos
- Dekada – faktorius 10. Viena dekada atitinka dešimteriopą pokytį; dešimteriopas padidėjimas yra +1 log10 vienetas.
- Geometrinis vidurkis: logaritminėje erdvėje aritmetinis vidurkis log reikšmių atitinka geometrinį vidurkį pradiniuose duomenyse – tai naudinga agreguojant santykinius dydžius.
- Slankmačiai: tradiciniai slankmačiai naudoja logaritmines skales, kad dauginimą ir dalijimą paverstų sudėtimi ir atimtimi skalėje.
Apribojimai ir įspėjimai
- Logaritmai negalimi arba neturi prasmės neigiamoms reikšmėms ir nuliui, todėl prieš taikant logaritminę transformaciją reikia užtikrinti, kad duomenys yra teigiami (jei reikia – juos reikia užshiftinti).
- Logaritminė transformacija keičia sklaidos ir klaidų pobūdį: interpretacija turi būti atliekama rūpestingai, ypač statistikoje.
- Ne visuomet geriausias pasirinkimas: jei skirtumai tarp reikšmių yra mažesni arba svarbiausi yra tiesiniai skirtumai, linijinė skalė gali būti tinkamesnė.
Apibendrinant: logaritminė skalė yra galingas įrankis, kai dirbame su duomenimis, kurių reikšmės kinta daugeliu kartų arba kai santykiai yra reikšmingesni už absoliučius skirtumus. Ji palengvina vizualizaciją, analizę ir atspindi daugelį natūralių bei techninių procesų, kuriuose dominuoja multiplikatyvūs ryšiai. Kai kuriuos mūsų jutimo procesus ir instrumentus (pvz., slankmačius) logaritminės skales daro ypač tinkamas.
Naudojant logaritminę skalę lengva palyginti didelius intervalus apimančias vertes, pvz., šiame žemėlapyje.
Dvi logaritminės slankmačio skalės
Pavyzdžiai
Gerai žinomi tokių skalių pavyzdžiai:
- Richterio skalė ir momentų skalė (MMS) žemės drebėjimų stiprumui ir žemės judėjimui nustatyti.
- bel ir decibelų bei neper - akustinė galia (garsumas) ir elektrinė galia;
- f-stops skaičiavimas fotografinės ekspozicijos santykiams;
- mažos tikimybės vertinamos pagal tai, kiek "devynetų" yra tikimybės, kad jos neįvyks, dešimtainėje išraiškoje: pavyzdžiui, sistema, kuri nesuveiks su 10 % tikimybe−5yra 99,999 % patikima: "penki devynetai".
- Entropija termodinamikoje.
- Informacija informacijos teorijoje.
- Dirvožemio dalelių dydžio pasiskirstymo kreivės
Kai kurios logaritminės skalės buvo sukurtos taip, kad didelės pagrindinio dydžio vertės (arba santykiai) atitiktų mažas logaritminio mato vertes. Tokių skalių pavyzdžiai:
- pH rūgštingumui nustatyti;
- žvaigždžių ryškumo skalė;
Logaritminė skalė taip pat yra grafinė skalė vienoje arba abiejose grafiko pusėse, kai skaičius x spausdinamas tam tikru atstumu c-log(x) nuo taško, pažymėto skaičiumi 1. Logaritmines skales turi slankmačiai, o nomogramose dažnai naudojamos logaritminės skalės. Logaritminėje skalėje vienodas dydžių skirtumas vaizduojamas vienodu atstumu. Dviejų skaičių geometrinis vidurkis yra viduryje tarp skaičių.
Prieš atsirandant kompiuterinei grafikai, logaritminis grafikos popierius buvo pagrindinė mokslinė priemonė. Vieno logaritminio mastelio popieriaus grafikuose eksponentiniai dėsniai, o logaritminiame popieriuje - galios dėsniai gali būti vaizduojami kaip tiesės (žr. pusiau logaritminį grafiką, logaritminį grafiką).
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra logaritminė skalė?
A: Logaritminė skalė - tai skalė, naudojama, kai yra didelis dydžių intervalas.
K.: Kokie yra pavyzdžiai dalykų, kuriuos galima išmatuoti logaritminėje skalėje?
A: Žemės drebėjimo stiprumas, garso stiprumas, šviesos intensyvumas, epidemijų plitimo greitis ir tirpalų pH gali būti matuojami logaritminėje skalėje.
K: Kuo logaritminė skalė skiriasi nuo standartinės linijinės skalės?
A: Logaritminė skalė yra pagrįsta ne standartine linijine, o didumo laipsniais. Kiekvieno skalės ženklo vertė yra ankstesnio ženklo vertė, padauginta iš konstantos.
K: Kokia logaritminės skalės naudojimo nauda?
A: Logaritminė skalė gali sumažinti didelį verčių intervalą iki lengviau valdomos skalės, o tai gali būti naudinga dirbant su duomenimis, apimančiais platų verčių diapazoną.
K: Kas yra Stivenso galios dėsnis ir kaip jis susijęs su logaritminėmis skalėmis?
A: Stivenso galios dėsnis apibūdina, kaip kai kurie mūsų pojūčiai veikia logaritminiu būdu, kai padauginus faktinį įvesties stiprumą prie suvokiamo signalo stiprumo pridedama konstanta. Todėl logaritminės skalės šiems įvesties dydžiams yra ypač tinkamos.
Klausimas: Kodėl logaritminė skalė ypač naudinga matuojant garso stiprumą?
A: Mūsų klausa vienodus dažnių kartotinius dydžius suvokia kaip vienodus aukščio skirtumus, todėl logaritminė skalė gali tiksliai atspindėti šį ryšį tarp garso dažnio ir suvokiamo garsumo.
K: Koks yra ryšys tarp mažų pagrindinio dydžio kartotinių ir logaritminio mato daugumoje logaritminių skalių?
A.: Daugumoje logaritminių skalių maži pagrindinio dydžio kartotiniai (arba santykiai) atitinka mažas (galbūt neigiamas) logaritminio mato vertes.
Ieškoti