Šrėdingerio lygtis: kvantinės mechanikos banginės funkcijos apibrėžimas

Šrėdingerio lygtis: aiškus banginės funkcijos ir kvantinės mechanikos paaiškinimas, formulės, interpretacijos ir matavimo poveikis pradedantiesiems bei pažengusiems.

Autorius: Leandro Alegsa

27-09-2025 18:09

Šrėdingerio lygtis - tai diferencialinė lygtis (lygtis, kuri apima ne nežinomą skaičių, o nežinomą funkciją), kuria grindžiama kvantinė mechanika - viena tiksliausių subatominių dalelių elgesio teorijų. Tai matematinė lygtis, kurią 1925 m. sugalvojo Erwinas Schrödingeris. Ji apibrėžia dalelės ar sistemos (dalelių grupės) banginę funkciją, kuri kiekviename erdvės taške kiekvienu laiko momentu turi tam tikrą reikšmę. Šios reikšmės neturi jokios fizikinės prasmės (iš tikrųjų jos yra matematiškai sudėtingos), tačiau banginėje funkcijoje yra visa informacija, kurią galima sužinoti apie dalelę ar sistemą. Šią informaciją galima rasti matematiškai manipuliuojant bangine funkcija, kad būtų gautos realios vertės, susijusios su fizikinėmis savybėmis, pavyzdžiui, padėtimi, impulsu, energija ir t. t. Banginę funkciją galima įsivaizduoti kaip vaizdą, kaip ši dalelė ar sistema veikia laike, ir kuo išsamiau ją apibūdina.

Banginė funkcija vienu metu gali būti kelių skirtingų būsenų, todėl dalelė vienu metu gali turėti daug skirtingų padėčių, energijų, greičių ar kitų fizikinių savybių (t. y. "būti dviejose vietose vienu metu"). Tačiau kai matuojama viena iš šių savybių, ji turi tik vieną konkrečią reikšmę (kurios negalima tiksliai nuspėti), todėl banginė funkcija yra tik vienos konkrečios būsenos. Tai vadinama banginės funkcijos kolapsu ir atrodo, kad jį sukelia stebėjimo arba matavimo aktas. Dėl tikslios banginės funkcijos suirimo priežasties ir aiškinimo mokslininkų bendruomenėje vis dar plačiai diskutuojama.

Svarbus praktinis banginės funkcijos matas yra jos modulio kvadratas |Ψ(x,t)|^2 — tai yra tikimybės tankis, pagal kurį per mažą sritį apie tašką x patekus matavimo įrenginiui, randame dalelę su tam tikra tikimybe. Todėl banginė funkcija paprastai turi būti normalizuota, t. y. integralas ∫|Ψ(x,t)|^2 dx per visą erdvę turi būti lygus vienetui. Be to, banginė funkcija yra kompleksiška; globalus fazės faktorius (bendra kompleksinė fazė) nėra stebimas, bet fazės skirtumai tarp komponentų gali sukelti interferenciją ir turi fizinę reikšmę.

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

kur i {\displaystyle i} $i$ yra kvadratinė šaknis iš -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ yra redukuotoji Planko konstanta, t {\displaystyle t} $t$ yra laikas, x {\displaystyle x} yra padėtis, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ yra banginė funkcija, o V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ yra potencinė energija, dar nepasirinkta padėties funkcija. Kairė pusė yra lygiavertė Hamiltono energijos operatoriui, veikiančiam Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Linijinis operatorius ir superpozicija

Šrėdingerio lygtis yra linijinė diferencialinė lygtis: jei Ψ1 ir Ψ2 yra sprendiniai, tai bet kokia jų linijinė kombinacija aΨ1 + bΨ2 (kur a ir b — kompleksiniai koeficientai) taip pat yra sprendinys. Iš to seka superpozicijos principas — kvantinė sistema gali vienu metu egzistuoti kelių būsenų kombinacijoje. Tai leidžia aprašyti interferencijos reiškinius ir kvantinius virpesius, kurie neturi analogų klasikinėje mechanikoje.

Stacionariosios būsenos ir laiko nepriklausoma lygtis

Jeigu potencialas V(x) nepriklauso nuo laiko, sprendimus galima rasti atskiriant laiko ir erdvės priklausomybę: Ψ(x,t) = ψ(x)·T(t). Tokiu atveju gaunama laiko nepriklausoma Šrėdingerio lygtis (savybės reikšmių problema):

- (ℏ^2 / 2m) d^2ψ/dx^2 + V(x) ψ(x) = E ψ(x), kur E yra energijos savybės reikšmė (energijos eigenvalue). Šios lygties sprendiniai ψ(x) (eigenfunkcijos) ir atitinkamos energijos E dažnai būna kvantuojamos — tik tam tikros reikšmės leidžiamos pagal ribines sąlygas ir normalizaciją.

Pavyzdžiai

Laisva dalelė: V(x)=0. Sprendiniai yra bėgančios bangos e^{i(kx−ωt)}, kurios nesukuria ryškios kvantinės padėties (nenormalizuotos plokščios bangos), o impulsas susieta su bangos skaičiumi k.
Begalybės potencialo duobė (infinite square well): dalelės energija kvantuojama, o stovinčios bangos turi diskrečias harmonijas; tai klasikinis pavyzdys kvantinės energijos kvantavimo.
Harmoninio osciliatoriaus potencialas: vienas iš dažniausiai sprendžiamų modelių, kur energijos lygiai yra vienodai išsidėstę ir egzistuoja analitiniai sprendiniai iš Hermito polinomų.

Matuojamosios fizikinės dydžių reikšmės ir operatoriai

Banginę funkciją naudojame skaičiuojant observabilių reikšmes. Fizikiniai dydžiai atitinka operatorius; pavyzdžiui, momentas p atitinka operatorių p̂ = −iℏ ∂/∂x, o energija — Hamiltono operatorių Ĥ. Tikėtinosios reikšmės skaičiuojamos kaip ⟨A⟩ = ∫Ψ* (Â Ψ) dx. Be to, banginė funkcija evoliucionuoja pagal Ĥ per laiko Šrėdingerio lygtį, kas susieja kvantinę dinamiką su operatorine forma.

Probabilistinė interpretacija, kolapsas ir dekoherencija

Copenhagen interpretacijoje |Ψ|^2 traktuojamas kaip tikimybės tankis, o matavimo aktas (pagal tradicinį traktavimą) sukelia staigų banginės funkcijos kolapsą į vieną iš savybių eigenfunkcijų. Tačiau šis "kolapsas" nėra vienareikšmis fizinis procesas — moderni literatūra pabrėžia, jog sąveikos su aplinka (dekoherencija) paaiškina, kodėl kvantinės superpozicijos praktiškai prarandamos ir atrodo, kad vyksta klasikinis kolapsas. Dėl šių filosofinių ir techninių niuansų vis dar yra skirtingų interpretacijų (pvz., Many-Worlds, pilot-wave teorijos ir kt.).

Konservacija tikimybės ir tęstinumo lygtis

Šrėdingerio lygtis išsaugo banginės funkcijos normalizaciją — bendroje erdvėje integruota tikimybė lieka 1 visais laikais. Iš lygties seka tęstinumo lygtis, kurioje atsiranda tikimybės srovė (probability current), užtikrinanti tikimybių tvermę.

Klasterizacija su klasikiniais rezultatais

Kvantinė mechanika per tam tikrą ribą atkuria klasikinę mechaniką: taikant ℏ → 0 arba vykdant vidutines reikšmes ir naudojant Ehrenfest teoremą, kvantinė dinamika apkloja klasikinę judėjimo lygčių formą. Taip Šrėdingerio lygtis sujungia banginį kvantinį aprašymą su empirine klasika.

Matematinės savybės ir programos

Iš matematinės pusės Šrėdingerio lygtis yra skirta analizei funkcijų erdvėse, spektralinei teorijai (Hamiltono spektro tyrimas) ir numeriniams sprendimo metodams (pvz., finičių skirtumų metodai, variantiniai metodai). Ji yra pagrindas daugybei šiuolaikinių technologijų — nuo puslaidininkių prietaisų iki kvantinių kompiuterių ir spektroskopijos.

Trumpa istorija: Schrödingeris 1925–1926 m. pasiūlė šį banginį formalizmą kaip alternatyvą Matricinei mechanikai; vėliau paaiškėjo, kad abu formalizmai yra matematiškai ekvivalentūs ir sudaro kvantinės mechanikos branduolį.

Erwino Schrödingerio biustas Vienos universitete. Jame taip pat pavaizduota Schrödingerio lygtis.

Nuo laiko nepriklausoma versija

Darant prielaidą, kad banginė funkcija Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , yra atskiriama, t. y. darant prielaidą, kad dviejų kintamųjų funkciją galima užrašyti kaip dviejų skirtingų vieno kintamojo funkcijų sandaugą:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

tada, taikant standartinius matematinius dalinių diferencialinių lygčių metodus, galima įrodyti, kad bangos lygtį galima perrašyti kaip dvi skirtingas diferencialines lygtis

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

kur pirmoji lygtis priklauso tik nuo laiko T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ , o antroji lygtis priklauso tik nuo padėties ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ , o E {\displaystyle E} $E$ yra tik skaičius. Pirmąją lygtį galima iš karto išspręsti ir gauti

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

kur e {\displaystyle e} $e$ yra Eulerio skaičius. Antrosios lygties sprendiniai priklauso nuo potencinės energijos funkcijos V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ , todėl jų negalima išspręsti, kol ši funkcija nėra pateikta. Naudojantis kvantine mechanika galima įrodyti, kad skaičius E {\displaystyle E} $E$ iš tikrųjų yra sistemos energija, todėl šios atskiriamos banginės funkcijos aprašo pastovios energijos sistemas. Kadangi daugelyje svarbių fizikinių sistemų (pvz., atomo elektronas) energija yra pastovi, dažnai naudojama antroji pirmiau pateikto atskirtų diferencialinių lygčių rinkinio lygtis. Ši lygtis vadinama nuo laiko nepriklausoma Šrėdingerio lygtimi, nes joje nėra t {\displaystyle t} $t$ .

Banginės funkcijos interpretacijos

Gimė interpretacija

Yra daugybė filosofinių banginės funkcijos interpretacijų, todėl čia bus aptartos kelios svarbiausios idėjos. Pagrindinė idėja, vadinama Borno tikimybine interpretacija (pavadinta fiziko Makso Borno vardu), kyla iš paprastos minties, kad banginė funkcija yra kvadratinė integruojamoji, t. y.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Ši gana paprasta formulė turi didelę fizikinę reikšmę. Bornas iškėlė hipotezę, kad minėtasis integralas lemia, jog dalelė egzistuoja kažkur erdvėje. Tačiau kaip ją rasti? Naudojame integralą

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

kur P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} yra tikimybė $P(b<x<a)$ rasti dalelę regione nuo b {\displaystyle b} iki a {\displaystyle $b$ a} . Kitaip tariant, viskas, ką apskritai galima iš anksto žinoti apie dalelę, yra tikimybės, vidurkiai ir kiti statistiniai dydžiai, susiję su jos fizikiniais dydžiais (padėtimi, impulsu ir t. t.). Iš esmės tai yra Borno interpretacija.

Kopenhagos interpretacija

Pirmiau minėtas idėjas galima išplėsti. Kadangi Borno interpretacijoje teigiama, kad tikroji dalelės padėtis negali būti žinoma, galime išvesti tokią išvadą. Jei Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ yra banginės lygties sprendiniai, tai šių sprendinių superpozicija, t. y.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

taip pat yra sprendimas. Vadinasi, tai reiškia, kad dalelė egzistuoja visose įmanomose padėtyse. Kai ateina stebėtojas ir išmatuoja dalelės padėtį, superpozicija sumažėja iki vienos galimos banginės funkcijos. (t. y. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}. $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ kur Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ yra bet kuri iš galimų banginės funkcijos būsenų.) Ši idėja, kad dalelės padėties negalima tiksliai nustatyti ir kad dalelė vienu metu egzistuoja keliose padėtyse, lemia neapibrėžtumo principą. Šio principo matematinę formuluotę galima pateikti taip

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Kur Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ yra padėties neapibrėžtis, o Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ yra impulso neapibrėžtis. Šį principą galima matematiškai išvesti iš kvantinėje mechanikoje apibrėžtų momento ir padėties Furjė transformacijų, tačiau šiame straipsnyje jo neišvesime.

Kiti aiškinimai

Yra ir kitų interpretacijų, pavyzdžiui, daugelio pasaulių interpretacija ir kvantinis determinizmas.

Klausimai ir atsakymai

Klausimas: Kas yra Schrödingerio lygtis?

A: Šrödingerio lygtis yra diferencialinė lygtis, kuri sudaro kvantinės mechanikos pagrindą ir kurią 1925 m. sugalvojo Ervinas Šrödingeris. Ji apibrėžia dalelės ar sistemos banginę funkciją, kuri kiekviename erdvės taške kiekvienu laiko momentu turi tam tikrą vertę.

Klausimas: Kokią informaciją galima gauti manipuliuojant bangine funkcija?

A: Matematiškai manipuliuojant bangine funkcija, galima rasti realias vertes, susijusias su fizikinėmis savybėmis, pavyzdžiui, padėtimi, impulsu, energija ir t. t.

K: Ką reiškia, kai dalelė vienu metu gali turėti daug skirtingų padėčių, energijų, greičių ar kitų fizikinių savybių?

A: Tai reiškia, kad banginė funkcija vienu metu gali būti keliose skirtingose būsenose, todėl dalelė vienu metu gali turėti daug skirtingų padėčių, energijų, greičių ar kitų fizikinių savybių (t. y. "būti dviejose vietose vienu metu").

K: Kas yra banginės funkcijos kolapsas?

Atsakymas: Banginės funkcijos kolapsas yra tada, kai matuojant vieną iš šių savybių, ji turi tik vieną konkrečią reikšmę (kurios negalima tiksliai numatyti), todėl banginė funkcija yra tik vienos konkrečios būsenos. Atrodo, kad tai sukelia stebėjimo arba matavimo aktas.

Klausimas: Kokios yra kai kurios Šrėdingerio lygties sudedamosios dalys?

Atsakymas: Šrödingerio lygties sudedamosios dalys yra i, kuri lygi kvadratinei šakniai -1; ℏ, kuri reiškia sumažintą Plancko konstantą; t, kuri reiškia laiką; x, kuri reiškia padėtį; Ψ (x , t), kuri reiškia banginę funkciją; ir V(x), kuri reiškia potencinę energiją kaip dar nepasirinktą padėties funkciją.

Klausimas: Kaip aiškinti banginės funkcijos suirimą?

Atsakymas: Dėl tikslios banginės funkcijos suirimo priežasties ir aiškinimo mokslininkų bendruomenėje vis dar plačiai diskutuojama.

Ieškoti